[Resuelto] Periodo de una función trigonométrica

La función y(x) = 4 cos(x/2) - 3 sen(2x) es de periodo

A. π
B. 4π
C. 3π
D. 2π

Pregunta enviada por alune
El Blog de la Nacho

comment 4 comentarios

danny1993 chevron_right

hola

bueno este tema es muy complejito pero es chevere de leer y de interpretar

tenemos en el enunciado funciones sinusoidales de la forma:
Asen(Bx+C)+D
Acos(Bx+C)+D

para el periodo nos dan una formulita que dice el periodo es
2π/B solo resta observar quien acompaña a la B en cada una

4cos(x/2) el periodo aca sera 2π/(1/2)=4π
3sen(2x) el periodo aca sera 2π/2=π

ahora solo hacemos la resta de cada funcion

4π-π=3π◄ esta sera pues la respuesta correcta

bueno como te dije el tema es algo complejo si alguien tiene alguna sugerencia o correcion se lo agradezco


saludos ;) daniel

Nataly chevron_right

La funcion f(x) será periodica su cumple que: f(x) = f(x+T), donde T es el período.

______________-


Ahora tenemos:

f(x) = 4Cos(x/2) - 3Sen(2x)

f(x + T) = 4Cos[ (x+T)/2 ] - 3Sen[ 2(x+T) ]

Ahora, por propiedad, igualamos:

4Cos(x/2) - 3Sen(2x)= 4Cos[ (x+T)/2 ] - 3Sen[ 2(x+T) ]

__________________


Recordemos que:

· Cos[x + a] = Cos[x]·Cos[a] - Sen[x]·Sen[a]

· Sen[x + a] = Sen[x]·Cos[a] + Sen[a]·Cos[x]

__________________


Segun lo anterior operaremos:

4Cos(x/2)-3Sen(2x)= 4Cos[ x/2 + T/2 ] - 3Sen[ 2x + 2T ]

4Cos(x/2)-3Sen(2x)= 4( Cos[x/2]·Cos[T/2] - Sen[x/2]·Sen[T/2] ) - 3( Sen[2x]·Cos[2T] + Sen[2T]·Cos[2x] )

Ordenamos:

4Cos(x/2)-3Sen(2x)= 4Cos[x/2]·Cos[T/2] - 4Sen[x/2]·Sen[T/2] - 3Sen[2x]·Cos[2T] - 3Sen[2T]·Cos[2x]

4Cos(x/2)-3Sen(2x)= 4Cos[x/2]·Cos[T/2] - 3Sen[2x]·Cos[2T] - 4Sen[x/2]·Sen[T/2] - 3Sen[2T]·Cos[2x]

4Cos(x/2)-3Sen(2x)= 4Cos[x/2]·Cos[T/2] - 3Sen[2x]·Cos[2T] - 4Sen[x/2]·Sen[T/2] - 3Sen[2T]·Cos[2x]
━━━━━━━━.....━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Si queremos que la igualdad se cumple, entonces deben ser iguales las parte que he señalado y lo demás debe ser igual a 0.

Entonces tenemos 2 ecuaciones:

=> Se debe cumplir que: 4Cos(x/2)-3Sen(2x)= 4Cos[x/2]·Cos[T/2] - 3Sen[2x]·Cos[2T]

=> Además se cumple que: - 4Sen[x/2]·Sen[T/2] - 3Sen[2T]·Cos[2x] = 0

_________________


Trabajamos con la 1ra ecuacion:


4Cos(x/2) - 3Sen(2x) = 4Cos[x/2]·Cos[T/2] - 3Sen[2x]·Cos[2T]

4Cos(x/2) - 4Cos[x/2]·Cos[T/2] - 3Sen(2x) - 3Sen[2x]·Cos[2T] = 0

4Cos[x/2] · ( 1 - Cos[T/2] ) - 3Sen[2x] · ( 1 - Cos[2T] ) = 0

Para que la igualdad se cumpla, debe darse el caso que: "1 - Cos[T/2] = 0" y "1 - Cos[2T] = 0".

O sea:

Cos[T/2] = 1 =======> T/2 = 2kπ, k e Z =====> T = ... -8π ; -4π ; 0 ; 4π ; 8π ; ...

Cos[ 2T] = 1 =======> 2 T = 2kπ, k e Z =====> T = ... ; -2π ; -π ; 0 ; π ; 2π ; ...


: : Los valores de T que cumplen son: T = ... -8π ; -4π ; 0 ; 4π ; 8π ; ...

______________________


Trabajamos con la segunda ecuación:

-4Sen[x/2]·Sen[T/2] - 3Sen[2T]·Cos[2x] = 0

- 4Sen[x/2]·Sen[T/2] = 3Sen[2T]·Cos[2x]


Para que se cumple, se debe cumplir que:

"Sen[T/2] = 0" y "Sen[2T] = 0"

O sea:

Sen[T/2] = 0 =======> T/2 = kπ, k e Z =====> T = ... -4π ; -2π ; 0 ; 2π ; 4π ; ...

Sen[ 2T] = 0 =======> 2 T = kπ, k e Z =====> T = ... ; -π ; -π/2 ; 0 ; π ; π/2 ; ...

: : Los valores de T que cumplen son: T = ... -4π ; -2π ; 0 ; 2π ; 4π ; ...

_________________________


Finalmente, para que los valores de T se cumplan en las 2 ecuaciones, debemos intersecar los valores obtenidos en ambas ecuaciones, para que el PERIODO "T" se cumpla en todos los casos de "x":

En la primera ecuación: T = ... -8π ; -4π ; 0 ; 4π ; 8π ; ...

En la segunda ecuación: T = ... -4π ; -2π ; 0 ; 2π ; 4π ; ...

Al intersecar resultados, obtenemos el valor del PERIODO "T":

La funcion periodica se da cuando: T = ... -8π ; -4π ; 0 ; 4π ; 8π ; ...

Entonces el periodo es 4π.

======================================…

: : El periodo es: T = 4π

======================================…

danny1993 chevron_right

mmm no estaba ni con la idea de eso tan largo aunque el merito esta en yahoo ;)

http://espanol.answers.yahoo.com/question/index?qid=20100119104146AABoFkB

saludos

Blog de la Nacho